这的确是好话题. 为什么这么说呢, 因为哥德巴赫猜想(简称1+1)可以说是在中国知名度最高的数学难题. 如果有人上大街做个调查, 让路人甲说出个数学猜想来, 肯定最多人回答哥德巴赫猜想; 如果要说出几个中国数学家的名字, 那肯定是华罗庚, 陈景润(陈景润在这方面做出突出工作, 华罗庚是他师傅).
为什么这个猜想在中国会这么红呢? 又为什么简称为1+1呢? 我们还是先来了解一下这个猜想的前世今生吧.
哥德巴赫是18世纪的一个业余数学家, 他家境比较好, 对数学很感兴趣. 由于不用像普通老百姓一样为生计奔波, 所以经常搞点小研究, 而且还和很多数学家交了朋友. 毕竟不是职业的数学家, 他没有什么很了不起的成就, 让他出名的是他提出了哥德巴赫猜想. 我在360百科找来了他的肖像:
哥德巴赫结交的数学家朋友当中, 甚至包括大名鼎鼎的欧拉. 有一次, 哥德巴赫感觉自己发现了什么了不解的结论, 又不知道怎么去证明, 于是就给欧拉写了封信. 大数学家欧拉一看, 也觉得很有道理, 但也没证出来. 连欧拉都不会证, 这个猜想就变得出名了, 吸引了很多人去证. 哥德巴赫的猜想是这样的:
很明显, 奇数和偶数都有无穷多个, 这样列举下去是不可能证明出来, 必须靠逻辑推理才行.
实际上, 奇数的那部分已经被前苏联数学家维诺格拉多夫证出来了注. 所以现在说的哥德巴赫猜想一般是指偶数那部分:
数学家们是用什么思路去探索的呢? 他们想把条件放宽一点, 先证明简单点的, 然后再一点点收紧条件, 最终完成证明. 怎么放宽呢?
这个猜想的一个难处在于, 素数太少了. 你别看2, 3, 5, 7都是素数, 当整数越来越大的时候, 素数是很稀疏的. 素数那么少, 想把任一个偶数表示成两个素数之和就有点困难了. 要放宽点条件, 数学家顺着这样的思路想:
1. 把一个偶数2n写成2n=p+q(两个素数相加), 有难度; 那就用另一个办法表示2n=A+B;
3. A, B在什么范围内选取比较恰当呢? 素数是指不能分解的数, 那么a和b选取这样的数就很合适:
这样的数叫做殆素数. 至于殆素数的精确定义, 这里就不详细介绍了, 只是举例子感受一下为什么殆素数有点像素数, 但是又要比素数多:
要注意的是, 尽管殆素数要比素数多, 但是在很大的时候, 仍然是很稀疏的! 所以猜想的难度变小了, 但依然很有难度.
所以原本猜想是要证明所有偶数都能写成两个素数相加, 现在变成了两个殆素数相加就可以了. 如果证明到了
可以想象, a和b越小, a+b就越难证, 因为素因子个数少的殆素数是比较少的. 这个从上面举的例子可以感受到.
素因子个数为1的殆素数, 实际上就是素数, 所以哥德巴赫猜想就简称为1+1了. 这就是哥德巴赫猜想简称为1+1的原因.
后来数学家主要研究方向就是, 先对比较大的a和b证明a+b, 再逐步缩小, 一直缩小到1+1. 详情请看下节.
虽然这离1+1差很远, 但这是一次重要的突破. 自1742年哥德巴赫猜想提出以来, 一直没有什么实质性的进展. 而9+9的证明, 实际上是指明了一个方向, 说明了通过殆素数来证明是有可能行得通的.
1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了1 + 5,中国的王元证明了1 + 4注.
1965年, 苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫, 及意大利的朋比利证明了1 + 3注.
陈景润的结论被称为陈氏定理. 1+2和1+1, 仅差一步之遥! 然而这一步是最难的一步, 从9+9到1+2用了46年, 但在50年后的今天, 从1+2到1+1仍没有实现! 哥德巴猜想依然是猜想, 没变成定理.
从这个进展的过程, 可以发现中国人的贡献是很大的, 而且最好的成果也是来自中国人, 因此, 哥德巴赫猜想在中国的明星地位是理所当然的.
陈景润对1+2的证明被称作是筛法理论的光辉顶点, 也就是他把筛法这个数学工具发挥到极致.
但是从另一个角度讲, 筛法发挥到了极致也只证到了1+2, 很可能这个方法证不了1+1, 需要全新的理论和方法才能证得了1+1. 又或者, 哥德巴赫猜想可能根本就不成立呢? 虽然计算机已经验证了很多很多的数, 都是对的, 但是保证不了有一个更大的偶数, 不能写成两个素数之和. 与此前的逐步攻克难关相比, 哥德巴赫猜想这几十年的进展确实沉寂了很多. 未来无论是证明或者否定它, 都将对数学家, 对人类的智力, 是极大的挑战.
注: 本文所说的证明, 都是指对充分大的数成立的. 例如维诺格拉多夫证明的奇数版哥德巴猜想, 其实他没有证明任意奇数都能表示成三个素数之和, 而是证明了:
什么叫充分大呢? 例如大于一万万万亿. 一般这种情况数学家就当作这问题已经解决了. 因为无限多个整数中只剩下前面的有限个没证明. 剩下的事就是想办法把那个一万万万亿变小, 或者干脆等计算机更发达的时候一个个去验证好了, 反正有限个, 总能验证完的.
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